政治和数学有共同的话题吗？大部分人的看法是，在各种组合当中，没有比这二者性质更不同的。然而，此前在众议院赢得选举被选为首相的鸠山由纪夫出身理科，这在日本尚属首次，成为街头的热门话题。从东京大学工学部毕业后，他成为了运营研究（OR）学会的研究员。据说，他在OR中专门研究数学可靠性理论，其在斯坦福大学的博士学位论文也是以“系统可靠性分析”作为主题。如今，他仍然是OR学会的正式会员。在前年举行的OR学会50周年纪念庆典上邀请演讲上，他以“政治科学”为题发表了一场热情洋溢的演讲，表示必须打破僵化的官僚政治并做出科学合理的决策。也许听众中很少有人预测到他会在两年后出任总理大臣，不过情况已经发生了很大变化。我期待他能够利用OR概念将日本引导到正确的方向。
议员定数问题
前言写得有点长。在这里，我想写的是一个政治中要求解决的纯粹性数学问题，就是议员定数问题。自美国建立以来，采用上下议院两院制，规定上院在各州设置2名议员，下院根据各州人口比例设置议员人数。这里简而言之为“比例”，但是人口数是一个位数相当多的整数，而议员人数是1位数左右，因此无法严格按照比例进行配额。从数学上讲，如果将各州人口设为 pi ，将议员人数设为 xi ，将议员总数设为 N ，在Σxi = N 的条件下，为确保 pi / xi (= 每1名议员对应的人口数)大体相等，要确定正整数 xi 。
汉密尔顿法
如果这样写，我想会有很多人想到下面的方法。设人口总和为 P ，则州 i 有权设置的议员人数为：
qi = N ( pi / P )
的议员数的权利。遗憾的是，qi 并非整数。例如，如果设 qi = 3.287，首先将其整数部分3分配给州 i ，如果N 还有冗余， 从qi 小数部分较大的州开始依次分配1人，似乎很公平。实际上，这个方法不错，美国某个时期就曾用过这种方法。“它被称为“最大剩余法”或“汉密尔顿法”。
数学出场
1881年，伴随国会大厦翻修而增加议员总配额N ，重新计算后得出阿拉巴马州议员人数要减少的结论 。这就是所谓的“阿拉巴马悖论”。这对于阿拉巴马州是不可接受的。仔细调查就会发现，这种现象经常发生。因此，他们要求寻求一种新的计算方法，数学家也参与了讨论。最后，他们提出“除数法”或“亨廷顿法”。亨廷顿是哈佛大学的数学教授，曾接受过咨询。首先，相对于议员人数 x ，定义满足x ≤ d(x) ≤ x + 1的除数 d(x) 。D(x)有x和 x + 1 ，取中间值为x + 1 / 2 ，再取几何平均值 (x(x+1))1/2 也不错。算法如下所示。
除数法
- 将各 xi 设定为初始值（通常设为1，有时也设为0）。
- 按照pi/d(xi) 最大的州 i 的 xi 加1的Σ 顺序重复操作，直到xi = N 。
由于除数法是一种逐一增加议员总数的方法，因此不会发生阿拉巴马悖论。不过，如何确定除数 d(x) ，结果也会随之变化。 如果d(x) = x ，基于当前分配的议席数决定下一个议席的去向；如果d(x) = x + 1，假设增加1个议席，则要基于其结果决定下一个议席的去向。这个标准让人感觉理应如此。剩余的两个是中间。位于列 x、(x(x + 1))1/2 、x + 1/2 ，x + 1的位置越靠前，对值小的州越有利。美国对此长期争论不止。1941 年，罗斯福总统决定采用“(x(x+1))1/2” ，至今仍在使用该法。这种方法用提出该法的统计学家名字，命名为“希尔法”。
比例代表制
另外，如果改变设定，设qi 为某政党 i 的得票数， 设xi 为该该党的当选议员数，则议员配额问题就变为在比例区域决定各党当选人数的问题。人们对这种比例代表制度展开了激烈的辩论，在此只说结论，就是一些欧洲国家目前采用d(x) = x + 1 。人们根据提议者名字（一名比利时律师），将其命名为“d'Hondt法”或“最大除数法”。日本有些比例区也采用d'Hondt法。另一方面，一些数学家认为x + 1/2偏差最小最为公平。
众议院选举结果
之前众议院选举的结果如何？众议院的比例区将整个国家分为11个区块，每个区块独立计算。各政党根据自身规则定义比例区中的单个候选人和小选区中重复候选人的排名，并按照排名列表的先后顺序依次分配获得的当选人数。这次选举中，发生了一些奇怪的事情。在近畿地区，由于民主党的重复候选人几乎都是在小选区当选的，因此候选人短缺，当选者被转让给其他政党。此外，在众人之党（Your Party）中，唯一的重复候选人在小选区中无法获得10％的选票，因此不得不放弃参加选举的权利。总之，让我们先看看北海道比例区的结果。在这里，配额为8人，总票数为3,324,803，各党获得的票数如下：
| 民主 | 自民 | 公明 | 共产 | 社民 | 大地 |
| 1,348,318 | 805,895 | 354,886 | 241,345 | 113,562 | 433,122 |
。在比例区问题中运用除数法之际，将 xi 的初始值设为0，d(x) = x 和(x(x+1))1/2 二者之中d(0) = 0 ，无法进行pi/d(xi) 除法运算。因此，只能在其余三者之中计算当选者人数。
| 民主 | 自民 | 公明 | 共产 | 社民 | 大地 | 合计 | |
| 汉密尔顿法 | 3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 8 |
| x + 1/2 法 | 3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 8 |
| d'Hondt法 | 4 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 8 |
成为。实际上，民主党根据d'Hondt法获得了四个席位，而共产党则吃亏了。因为北海道已经存在差异，所以我没有研究其他比例区。在计算总体结果时，我发现对于共产党和社民党等小型政党来讲差异很大。我记得日本采用d'Hondt法时并未进行过认真议论，如果结果出现出乎意料的差异，那肯定有人不能服从。（我打算在大学院“系统理论特殊论”中引入议员配额问题，因此要求学生计算所有比例区结果作为课题。）
这次的话题与参议院“一票价值裁定”也有关系。不过，如果把这个写出来文章就会变得越来越长，故而到此打住。我希望大家能发现政治和数学之间出人意料的联系。
茨木 俊秀